Xét tam giác ABC với các cạnh a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |. Liên quan tới ABC, nhiều đường cong đi qua các điểm nổi bật. Các ví dụ dưới sử dụng hai hệ tọa đô đồng nhất: tam tuyến tính và tọa độ cực tỉ.

Để đổi từ hệ tam tuyến tính sang hệ tọa độ cực tỉ trong hàm số bậc ba, ta thay như sau:

x ↦ bcx, y ↦ cay, z ↦ abz;

Để đổi từ hệ tọa độ cực tỉ sang tam tuyến tính, thì dùng

x ↦ ax, y ↦ by, z ↦ cz.

Các đường cong bên dưới định nghĩa bằng cách dùng liên hợp đẳng giác, ký hiệu bằng điểm X* của điểm X không nằm trên cạnh của ABC. Cách xây X* thực hiện như sau. Gọi LA là phản xạ của XA bởi đường phân giác của góc A, rồi định nghĩa LB và LC tương tự như vậy. 3 đường đó đồng quy tại X*. Trong hệ tọa độ tam tuyến tính, nếu X = x:y:z, thì X* = 1/x:1/y:1/z.

Đường cong Neuberg

Đường cong Neuberg của tam giác ABC: Quỹ tích của X sao cho nếu X A , X B , X C {\displaystyle X_{A},X_{B},X_{C}} là phản xạ của A, B, C qua các đường BC, CA, AB thì các đường A X A , B X B , C X C {\displaystyle AX_{A},BX_{B},CX_{C}} đồng quy

Phương trình tam tuyến tính: ∑ c y c l i c ( cos ⁡ A − cos ⁡ B cos ⁡ C ) x ( y 2 − z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{cyclic}(\cos A-\cos B\cos C)x(y^{2}-z^{2})=0}

Phương trình tọa độ tỉ cự: ∑ c y c l i c ( 2 a 2 ( b 2 + c 2 ) + ( b 2 − c 2 ) 2 − 3 a 4 ) x ( c 2 y 2 − b 2 x 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{cyclic}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}x^{2})=0}

Đường cong bậc ba Neuberg (được đặt theo tên Joseph Jean Baptiste Neuberg) là quỹ tích của điểm X sao cho X* nằm trên đường EX, với E là điểm vô cực của đường Euler (X(30) trong Bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác).

Đường cong Thomson

Ví dụ của đường cong Thomson (đường đen). X nằm trên đường con sao cho liên hợp đẳng giác của X (X′) nằm trên đường X(2) – X.

Phương trình tam tuyến tính : ∑ c y c l i c b c x ( y 2 − z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{cyclic}bcx(y^{2}-z^{2})=0}

Phương trình tọa độ tỉ cự: ∑ c y c l i c x ( c 2 y 2 − b 2 z 2 ) = 0 {\displaystyle \sum _{cyclic}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0}

Đường cong Thomson là quỹ tích của điểm X sao cho X* nằm trên đường GX, với G là trọng tâm.

Đường cong Thomson đi qua các điểm sau: tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm, điểm đối trung, 3 điểm A, B, C, một số tâm trong và ngoài tam giác, trung điểm BC, CA, AB, và trung điểm của các đường cao của ABC.

Đường cong Darboux

Đường cong Napoleon-Feuerbach

Đường cong Lucas

Đường cong Brocard thứ nhất

Đường cong Brocard thứ hai